Blackjack is a complicated game, wh

Blackjack is a complicated game, where subtle changes in rules or playing strategy can have asurprising impact on the player's advantage. As with many other complex real-world systems,blackjack analysis is typically done via simulation. Aside from being somewhat unsatisfying mathematically, simulation can make it difficult to explore a large number of rule and strategy variationsand rarely provides insight into the underlying reasons for the results.We have presented an analysis framework for card-counting systems that operates completelywithout simulation. This framework is based on the observation that certain aspects of the game ofblackjack have nite memory and are well modeled by discrete Markov chains. By using techniquesfrom Markov chain analysis, we developed a framework for calculating the player's long-term ex-pected gain and exercised this technique on the well-known Complete Point-Count System. Byusing our method, one could further investigate detailed aspects of the game. For example, bydetermining the reasons underlying particular advantages, a player could assess rule variations andmake strategy adjustments accordinglyAs in any case of trying to match the real world to a tidy mathematical framework, some sim-plifying assumptions were required. These assumptions introduce inaccuracies into the analysis,but we have attempted to make only the mildest assumptions required. Even then, a direct appli-cation of Markov chains produced a problem that was technically well-dened but computationallyintractable. It was only through further exploring the structure of the system that we were ableto reduce the complexity of the calculations. More accuracy could be achieved if we worked toreduce the impact of our assumptions, for example by keeping track of card counts over more thanthree categories. However, increasing the complexity in this way would quickly lead us back into aproblem that is computationally impractical.In this work, Markov chains have been a powerful tool for exploiting the inherent structurethat exists both in the game of blackjack and in card-counting strategies. Though black-jack is only a casino game, our exercise illustrates the power of Markov chains in analyzingcomplex systems. The continued development of more advanced techniques for Markov chainanalysis should only extend the utility of Markov chains for more complicated, real-world problems.

結果 (繁體中文) 1:

酒杯是一個複雜的遊戲，在規則或遊戲戰略細微的變化可以有一個
玩家的優勢令人驚訝的影響。與其他許多複雜的現實世界中的系統，
酒杯分析通常通過模擬來完成。除了從數學上有所不滿意，模擬可以使其難以發掘了大量的規則和策略的變化
，很少提供洞察結果的根本原因。
我們已經提出的算牌系統的分析框架，完全運行
沒有模擬。該框架是基於觀察到的遊戲的某些方面
酒杯具有有限內存和離散馬爾科夫鏈以及建模。通過使用技術
從馬爾可夫鏈分析，我們開發了用於計算玩家的框架的長期EX-
pected增益和行使這項技術在著名的全點計數系統。通過
使用我們的方法，我們可以進一步探討遊戲的細節方面。例如，通過
確定潛在的特定優勢的原因，玩家可以評估規則的變化和
化妝戰略相應的調整
作為在試圖與現實世界相匹配的整潔的數學框架的任何情況下，一些SIM-
被要求plifying假設。這些假設引入誤差到分析，
但我們試圖讓只需要最溫和的假設。即使是這樣，直接appli-
馬爾可夫鏈的陽離子產生了技術上以及德斯內德，但計算的問題
難以解決。只有通過進一步探索系統的結構，我們能夠
降低計算的複雜性。如果我們合作，更準確，可以實現
通過跟踪卡計數了超過減少我們假設的影響，例如
三類。然而，這種方式增加了複雜性會迅速帶領我們回到一個
是計算不切實際的問題。
在這項工作中，馬爾可夫鏈一直是利用固有結構的有力工具
存在無論是在二十一點遊戲和卡計數策略。雖然黑色-
傑克只是一個賭場遊戲，我們的工作說明在分析馬爾可夫鏈的電力
複雜的系統。對馬爾可夫鏈的更先進技術的持續發展
分析應該只延長馬爾可夫鏈更複雜的，真實世界的問題的效用。

結果 (繁體中文) 2:

21點是一個複雜的遊戲，其中規則的微妙變化或遊戲策略可以有一個
對玩家優勢的令人驚訝的影響。與許多其他複雜的真實系統一樣，
21 點分析通常通過類比完成。除了在數學上有些不滿意之外，模擬還使得探索大量的規則和策略變化變得困難
很少提供對結果的根本原因的洞察。
我們提出了一個完全運行的卡計數系統的分析框架
無需類比。這個框架是基於觀察，
21點具有nite記憶體，並且由離散的瑪律科夫鏈很好地建模。通過使用技術
從瑪律科夫鏈分析，我們開發了一個框架，計算球員的長期前
在著名的完整點計數系統上，並應用了該技術。由
使用我們的方法，可以進一步調查遊戲的詳細方面。例如，通過
確定特定優勢背後的原因，玩家可以評估規則變化和
相應地進行戰略調整
如同試圖將現實世界與整潔的數學框架相匹配的，一些類比
需要令人振奮的假設。這些假設在分析中引入了不准確之處，
但我們只試圖做出最溫和的假設。即便如此，直接應用
瑪律科夫鏈的陽離子產生了一個問題，是技術上良好的，但在計算
頑固 性。只有通過進一步探索系統的結構，我們才能
降低計算的複雜性。如果我們努力
減少我們假設的影響，例如，通過跟蹤卡計數超過
三個類別。然而，以這種方式增加複雜性將迅速導致我們回到
問題，這是計算上不切實際的。
在這項工作中，瑪律科夫鏈一直是利用固有結構的有力工具
既存在於21點的遊戲和卡計數策略。雖然黑色
傑克只是一個賭場遊戲，我們的練習說明了瑪律科夫鏈在分析的力量
複雜的系統。瑪律科夫鏈先進技術的不斷發展
分析應該只擴展瑪律科夫鏈的效用，以解決更複雜的實際問題。

結果 (繁體中文) 3:

21點是一個複雜的遊戲，規則或遊戲策略的細微變化可以
對玩家優勢的驚人影響。與許多其他複雜的現實系統一樣，
21點分析通常通過類比完成。除了在數學上有些不盡如人意外，類比還可能使探索大量規則和策略變化變得困難
而且很少深入瞭解結果的根本原因。
我們已經提出了一個分析框架，用於完全運行的卡片計數系統
沒有類比。這個框架是基於以下觀察：遊戲的某些方面
21點具有有限的記憶，並且用離散的瑪律可夫鏈很好地建模。通過使用科技
從瑪律可夫鏈分析出發，我們發展了一個計算玩家長期經驗的框架-
期望增益，並在著名的完整點計數系統上應用該科技。由
使用我們的方法，我們可以進一步調查遊戲的詳細方面。例如，通過
在確定特定優勢背後的原因時，玩家可以評估規則的變化和
做出相應的戰畧調整
在任何試圖將現實世界與整潔的數學框架相匹配的情况下，一些sim-
需要進行假設。這些假設在分析中引入了不精確性，
但我們只試圖做出最溫和的假設。即使如此，直接申請-
瑪律可夫鏈的陽離子產生了一個問題，這個問題在科技上得到了很好的解釋，但在計算上卻得到了很好的解决
難對付。只有通過進一步探索這個系統的結構，我們才能
以减少計算的複雜性。如果我們努力
减少我們假設的影響，例如通過跟踪超過
三類。然而，以這種管道新增複雜性將很快使我們回到
計算上不切實際的問題。
在這項工作中，瑪律可夫鏈已經成為一個開發內在結構的强大工具
這既存在於21點遊戲中，也存在於卡片計數策略中。儘管是黑色的-
傑克只是一個賭場遊戲，我們的練習說明了瑪律可夫鏈在分析
複雜的系統。瑪律可夫鏈更先進科技的持續發展
分析只應擴展瑪律可夫鏈對更複雜的現實問題的效用。