Finally, we have, corresponding to

Finally, we have, corresponding to [2, Theorem 31, the following result, in which the last condition, (3.6), is considerably more complicated than the corresponding condition in [2, Theorem 31.
THEOREM 3. Let S be an n x n complex matrix. Then the following six statements are equivalent:
(3.1) S E P3 (i.e., S is a product of three positive definite hermitian matrices) ;
(3.2) S is conjunctive with an element of .Y3;
(3.3) S is conjunctive with an element of g2;
(3.4) S is conjunctive with a lower triangular matrix of positive diagonal;
(3.5) S is conjunctive with a matrix all of whose leading principal minors aye positive;
(3.6) at least one of the following, (3.6a) or (3.6b), holds.
(3.6a) S has positive determinant and eeieS + eieS* is indefinite for every real 0 ;
(3.6b) the (complex) integral in a E(S) zz Im i tr{ [(l - t)l + tS]-l(S - I)} dt
(where “Im” means “imaginary part” and “tr” means “trace”) exists in the Riemann sense (i.e., all the real eigenvalues of S aye positive) and E(S) itself is zero, and there is an n x 1 complex matrix X such that X*SX = 1. (Note: another condition, (3.6’), equivalent to(3.6) is given at the end of Section 3.)
Proof. The proof that the first five conditions, (3.1) through (3.5), are equivalent to each other is a routine paraphrase of the proof of the corresponding part of [2, Theorem 31. The proof that (3.6) is equivalent to (3.4) will occupy the next four sections of the present paper.
3. GEOMETRIC CONSIDERATIONS
In order to avoid the repeated use of cumbersome expressions in later sections, we introduce in this section some ad hoc terminology (as well as some standard terminology) and derive some basic properties associated with it.

結果 (中文) 1:

最后，我们有，对应于 [2，定理 31 以下结果，在这最后一个条件，(3.6)，是比相应条件，在 [2，定理 31 复杂得多.定理 3。设 S 是 n x n 的复矩阵。然后下面的六个语句是等效的:(3.1) S E P3 (即，S 是三正定厄米特矩阵产品);(3.2) S 是结膜与的一个元素。Y3(3.3) S 是结膜与 g2; 元素(3.4) S 是结膜下三角矩阵的积极的对角线;(3.5) S 是结膜与矩阵所有其领先的本金未成年人赞成积极;(3.6) 至少下列情况之一，(3.6a) 或 (3.6b) 持有。(3.6a) S 有正的行列式值和 eeieS + 端 * 是无限期的每个真正的 0;(3.6b) (复杂) 积分在 E (S) zz Im 我 tr {[(l-t) l + tS]-l(S-I)} dt("我"是指"虚构部分"，"tr"意味着"跟踪") 存在于黎曼感觉 (即，所有的实特征值的 S 赞成积极) 和 E (S) 本身是零，还有一个 n x 1 X 这样的复杂矩阵 X * SX = 1。(注: 另一个条件，(3.6')，等效 to(3.6) 给出了在第三节结束时.)证明。前五个条件，(3.1) 通过 (3.5 英寸)，是相互等价的证明是常规复述了举证责任的相应部分的 [2，定理 31。证明，(3.6) 是相当于 (3.4) 将占据本文接下来的四部分。3.几何因素为了避免繁琐的表达式，在后面的章节中重复的使用，我们在这一节介绍了一些特设的术语 (以及一些标准的术语)，并推导出与之相关的一些基本性质。

結果 (中文) 3:

最后，我们有，对应于[ 2，定理31，下面的结果，在其中的最后条件，（3.6），是相当复杂的比在[ 2，定理31。定理3。让我们做一个氮的复杂矩阵。那么下面的六个条件是等价的：（3.1）
的P3（即是三个正定Hermite矩阵乘积
（3）。2）是连接的一个元素。Y3；
（3.3）的连接与G2的元素；
（3.4）的连接与下三角矩阵的对角线；
（3.5）的连接与一个矩阵的所有的主子是积极的；（3.6）
下列中的至少一个，（3.6A）或（三十六亿），持有。（3。6a）有正行列式和eeies EIEs *不定每房0；
（三十六亿）的（复杂的）在一个积分（S）ZZ我TR { [（L T）L TS ] L（S I）} DT
（在“我”的意思是“虚部分”和“TR”意味着“迹”）存在于黎曼的意义（即，所有真正的特征值是正的）和E（S）本身是零，有一个N×1复矩阵x，x * SX = 1。（注：另一个条件，（3.6），相当于（3.6）是在3节结束时给出）。这证明了前五个条件，（3.1）通过（3.5），相当于对方是一个常规的释义【2相应部分的证明，定理31。证明：（3.6）相当于（3.4）将占据本论文的下四个部分。3。几何考虑，为了避免重复使用繁琐的表达式，在后面的章节中，我们将介绍在本节中的一些特设术语（以及一些标准术语），并得出一些基本的特性与它。