The latter two conditions imply tha

The latter two conditions imply that A is the product of three positive matrices (cf. [l, Theorem 31). Since B > 0, we have that T’ is the product of four nonnegative matrices. Say T’= A,AaA,A,, where Ai > 0 for all i. Since T = X-‘T’X for some invertible X, we have T = ( X-lA,X-l*)( X*A~X)( x-~A~x-~*)(x*A~x) expresses T as a product of four nonnegative matrices. That any three of these matrices may be taken to be positive follows from Theorem 2.2. Since
is not the product of three nonnegative matrices by Proposition 3.5, the minimality of four follows. n Using the preceding theorem and Ballantine’s results [l, Theorems 4 and 51, we can characterize the products of four or more nonnegative matrices.
THEOREM 4.2. An n x n matrix T is the product of four nonnegative matrices if and only if det T >, 0 and T is not a scalar matrix cl,, with c in C{z:z~O}.
THEOREM 4.3. A matrix T is the product of finitely many nonnegative
matrices if and only if det T > 0. In this case, five such matrices suffice.

結果 (中文) 1:

后两个条件意味着，A 是三正矩阵 (参见 [l，定理 31) 的产物。因为 B > 0，我们有那 T' 是四个非负矩阵的乘积。说 T'= A，AaA，A、 在哪里 Ai > 0 表示所有我。因为 T = X-不 ' X 对于一些可逆的 X，我们有 T = (X-拉、 X-l *) (X * A ~ X) (x-~A~x-~*)(x*A~x) 表示为一个乘积的四个非负矩阵的 T。可能采取任何这些矩阵的三要积极如下定理 2.2。自不是由命题 3.5，四极小性的三个非负矩阵的乘积。n 使用前面的定理和百龄坛的结果 [l、 定理 4 和 51，我们可以描述四个或更多的非负矩阵的产品。定理 4.2。N x n 矩阵 T 是四个非负矩阵的乘积，当且仅当 det T > 0，T 不是标量矩阵 cl、 与 c 在 C {z: z ~ O}。定理 4.3。一个矩阵 T 是产品的有限多非负矩阵当且仅当 det T > 0。在这种情况下，五个此类矩阵足够了。

結果 (中文) 3:

后两种情况下意味着是三正矩阵的乘积（参见[ 1，定理31）。0，我们有四个非负矩阵的乘积。说T = A，AAA，，，AI > 0所有我从T = X - X 't'x可逆，我们T =（X连锁无丙种球蛋白血症，连*）（x * ~ x）（x ~一~ X ~×）（××~ X）表示T作为四个矩阵的乘积。这些矩阵中的任何三个可能是积极的，从定理2.2。因为
不是由命题3.5三非负矩阵的乘积，四以下的极小。使用前面的定理和百龄坛的结果[升，定理4和51，我们可以描述的产品的四个或多个非负矩阵。定理4.2。一个n×n矩阵T是四的非负矩阵产品的当且仅当det T＞，0和T是不是一个标量矩阵，CL，C C { Z Z ~ O }。定理4.3。一个矩阵T是有限的非负
乘积矩阵当且仅当det T＞0。在这种情况下，五个这样的矩阵就足够了。