Proof. The equivalence of (2) and (

Proof. The equivalence of (2) and (3) is easy to derive (and well known). Indeed, assuming (2), we infer that T is similar to A -1/2TA1/2 = A112BA112, which is nonnegative, where the invertibility of AlI2 follows from that of A. On the other hand, if (3) holds, say T = X- ‘CX, where X is invertible and C >, 0, then T = (X-‘X-‘*)(X*CX) is the product of the positive XP’X-‘* and the nonnegative X*CX. This proves (2). To complete the proof, we need only show that (1) * (3). Assume that (1) is true. Since the property of being the product of two nonnegative matrices is preserved under similarity, we may, in view of the Jordan canonical form for matrices, assume that T = T,@T, on the space H = H,@ H,, where Tl is
invertible and T, is nilpotent. It is easily seen that H, = ran T” and H, = ker T”. Let S = A1/2BA1/2, K, = ran S”, and K, = ker S”. Since S is non- negative, K, and K, are orthogonal complements to each other. From A112S = TA1/2, we deduce that A112S” = TnA112, whence A112K, G H, and A’i2K2 c H,. It follows that A1/2*Hl’ G KIL and A112*H21 c K21, or, equiv-

結果 (中文) 1:

证明。等价的 (2) 及 (3) 是容易导出 (众所周知)。事实上，假设 (2)，我们推断 T 是类似于-1/2TA1/2 = A112BA112，AlI2 的可逆性遵循从那 A.是非负矩阵，另一方面，如果 (3) 持有，说 T = X-' CX，其中 X 是可逆和 C >，0，则 T = (X-'X-'*)(X*CX) 是该产品的积极 XP'X-'* 和非负 X * CX。这证明了 (2)。来完成证明，我们只需要表明: (1) * (3)。假设，(1) 是正确的。由于属性的两个非负矩阵的乘积保留根据相似性，我们可能，鉴于 Jordan 标准形矩阵，假设那 T = H 空间上的 T,@T，= H，@ 在 H、 Tl 在哪里可逆和 T，是幂零。它很容易看到那 H = 跑 T"和 H，= ker T"。让 S = A1/2BA1/2，K = 跑 S"，和 K，= ker S"。由于 S 为非负值，K 和 K，是彼此的正交补。从 A112S = TA1/2，我们推断，A112S"= TnA112，那里 A112K、 G H、 A'i2K2，c，H。它跟随那 A1/2 * Hl' G 吉和 A112 * H21 c K21，或，当量-

結果 (中文) 3:

证明。（2）和（3）的等价性很容易得到（和众所周知）。事实上，假设（2），我们推断，T是一个类似于1 / 2ta1 / 2 = a112ba112，它是非负的，其中包括从数据的可逆性，在另一方面，如果（3）认为，说T = x的CX，其中x是可逆的和C >，0，然后T =（X - X -“*）（××CX）是产品的积极xp'x -“*与负X CX。这证明（2）。为了完成证明，我们只需要证明（1）*（3）。假设（1）是真的。由于两个非负矩阵的产品的属性被保留下的相似性，我们可以，在约旦的典范形式为矩阵，假设吨=吨，@吨，在空间上=小时，@小时，，在TL
可逆和T，是幂零的。显而易见，H =跑”和h = ker T”。让S = A1 / 2ba1 / 2，K =跑的”，和K =芋”。因为是非负的，钾和钾，是正交的补充，彼此。从a112s = 1 / 2，我们推断，a112s”= tna112，那里a112k，G H，和a'i2k2 C H，。因此，A1 / 2×HL G杀死和112 * H21 C K21，或者，等价