Amy and Peter are sharing a cake. A

Amy and Peter are sharing a cake. Amy will cut it into two pieces. Peter then cutsone of the pieces into two. This is followed by a second cut by Amy and a secondcut by Peter, so that there will be five pieces, of sizes 0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ a4 ≤ a5,with a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 1. Peter will get the three pieces of sizes a1, a3 anda5, while Amy will get the remaining two pieces.What is the maximum amount of the cake Peter can get ?The answer is surprising !We first digress and consider the companion problem where Amy will get the threepieces of sizes a1, a3 and a5, while Peter will get the remaining two pieces. Whatis the maximum amount of the cake Amy can get ?First, we prove that Peter can always get 25of the cake. Suppose Amy cuts thecake into two pieces of sizes x and 1 − x, where 0 ≤ x ≤12. There are three cases.Case 1. 25 ≤ x ≤12.Peter will cut 1 − x into x and 1 − 2x. Now the three pieces are of sizes 1 − 2x <x = x. If Amy does not cut either x, neither will Peter. Peter will then be sure ofgetting x plus a second piece, and x ≥25. If Amy cuts one of the x’s, Peter willcut the other x in the same proportions. Peter will get two pieces which add upto x ≥25.Case 2. 15 ≤ x < 25.Peter will cut x into x−15and 15. Now the three pieces are of sizes x−15 <15 < 1−x.If Amy does not cut 1 − x, Peter will cut it in halves. The second smallest piececannot be less than 12(x−15), so Peter will get at least 1−x2 +12(x−15) = 25. SupposeAmy cuts 1 − x into y and 1 − x − y, where 0 ≤ y ≤1−x2. Then Peter will cut1 − x − y into 25 − y and 35 − x. Now y + ( 25 − y) = 25 = (x −15) + ( 35 − x). ThusPeter will get two pieces which add up to 25.

結果 (繁體中文) 1:

艾米和彼得共享蛋糕。艾米將它切成兩片。彼得然後剪切
的部分之一分為二。這之後是由Amy第二切口和第二
由Peter切口，以便將有5塊，大小0≤A1≤A2≤A3≤A4≤a5中，
用A1 + A2 + A3 + A4 + A5 = 1彼得將得到三件尺寸A1，A3和
A5，而艾米將獲得剩餘的兩件。
什麼是蛋糕彼得能得到的最高金額是多少？
答案是驚人的！
我們首先離題考慮配套問題，在艾米將拿到3
個尺寸的A1，A3和A5，而彼得將獲得剩餘的兩件。什麼
是蛋糕艾米能得到的最高金額是多少？
首先，我們證明了彼得總是可以得到2
5
蛋糕。假設艾米切割
蛋糕切成大小x的兩片1 - x，其中0≤X≤
1
2
。有三種情況。
殼體1 2
5≤X≤
1
2
。
彼得將削減1 - x轉換成x和1 - 2。現在三塊是尺寸1的- 2 <
X = X。如果艾米沒有切割出X，都不會對彼得。然後將彼得肯定的
獲得x加第二塊，並且x≥
2
5
。如果艾米切割X之一，彼得將
削減其它X相同比例。彼得將獲得兩片加起來
為x≥
2
5
。
情況下2 1
5≤X <2
5
。
彼得將切割X為X-
1
5
和1
5
。現在三塊是尺寸的x的
1
5 <
1
5 <1-X。
如果艾米不削減1 - X，彼得就會把它切成兩半。第二小片
不能小於1
2
（X-
1
5
），所以彼得將至少獲得1-x
2 +
1
2
（X-
1
5
）= 2
5
。假設
艾米削減1 - x轉換成y和1 - X - y，其中0≤ÿ≤
1-X
2
。然後彼得將削減
1 - X - Y考慮2
5 - y和3
5 - X。現在Y +（2
5 - Y）= 2
5 =（X -
1
5
）+（3
5 - x）的。因此，
彼得會得到兩片加起來2
5
。

結果 (繁體中文) 2:

艾米和彼得正在分享一個蛋糕。艾米會把它切成兩塊。彼得然後削減
一塊一分為二。接下來是艾米的第二次切割和第二次切割
由 Peter 切割，以便有五個件，大小 0 = a1 = a2 = a3 = a4 = a5，
a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = 1。彼得將得到三件大小a1，a3和
a5，而艾米將得到剩下的兩塊。
彼得能吃到的蛋糕最大數量是多少？
答案令人驚訝！
我們首先偏離，並考慮同伴的問題，艾米將得到三個
尺寸a1，a3和a5，而彼得將得到剩下的兩件。什麼？
艾米能拿到的最大蛋糕量嗎？
首先，我們證明彼得總是可以得到2
5
蛋糕。假設艾米削減
蛋糕分成兩塊尺寸 x 和 1 = x，其中 0 = x =
1
2
.有三種情況。
案例 1.2
5 × x ×
1
2
.
彼得將 1 = x 切成 x，1 = 2x。現在這三件是大小 1 × 2x |
x = x。如果艾米不切任何一個x，彼得也不會。彼得然後肯定
獲取 x 加上第二塊，x |
2
5
.如果艾米削減一個x的，彼得將
以相同的比例剪切其他 x。彼得會得到兩塊加起來
到 x |
2
5
.
案例 2.1
5 × x × 2
5
.
彼得將 x 切成 x_
1
5
和 1
5
.現在這三件是大小 x_
1
5 |
1
5 × 1×x.
如果艾米不切1×，彼得會把它切成兩半。第二個最小件
不能小於 1
2
（x=
1
5
），因此彼得將至少得到 1×x
2 |
1
2
（x=
1
5
） = 2
5
.想
艾米將 1 = x 切成 y，1 = x = y，其中 0 = y =
1⁄x
2
.然後彼得將削減
1 = x = y 到 2
5 = y 和 3
5 × x.現在 y = （ 2
5 = y） = 2
5 = （x =
1
5
） = （ 3
5 × x）。因此
彼得將得到兩件加起來2
5
.

結果 (繁體中文) 3:

艾米和彼得正在分享一個蛋糕。艾米會把它切成兩半。彼得接著切
把一塊分成兩塊。接下來是艾米的第二次切割和第二次切割
彼得切，這樣就有五塊，尺寸0≤a1≤a2≤a3≤a4≤a5，
a1+a2+a3+a4+a5=1時。彼得會得到三件a1、a3和
a5，而艾米會得到剩下的兩塊。
彼得最多能得到多少蛋糕？
答案令人驚訝！
我們先離題，考慮一下同伴的問題，在那裡艾米會得到三個
a1、a3和a5尺寸的零件，而彼得將得到剩下的兩個零件。什麼
艾米能得到的蛋糕最多是多少？
首先，我們證明彼得總能得到2
5個
蛋糕的一部分。假設艾米把
蛋糕分成兩塊，尺寸為x和1-x，其中0≤x≤
1個
2個
.有三個案子。
案例1。2個
5≤x≤
1個
2個
.
彼得將把1-x切成x和1-2x。現在這三件衣服的尺寸是1-2x<
x=x。如果艾米不切x，彼得也不會。彼得會確信的
得到x加第二片，x≥
2個
5個
.如果艾米剪了一個x，彼得會的
按同樣的比例剪下另一個x。彼得將得到兩塊加起來
至x≥
2個
5個
.
案例2。1個
5≤x<2
5個
.
彼得會把x切成x-
1個
5個
和1
5個
.現在這三件衣服的尺寸是x-
1個
5個<
1個
5<1-x。
如果艾米不剪1-x，彼得會把它切成兩半。第二小件
不能小於1
2個
（x-）
1個
5個
），所以彼得至少會得到1-x
2個+
1個
2個
（x-）
1個
5個
）=2個
5個
.假設
Amy將1-x切為y和1-x-y，其中0≤y≤
1倍
2個
.那彼得就砍了
1-x-y到2
5-y和3
5-x.現在y+（2
5-y）=2
5=（x-）
1個
5個
）+（三）
5倍）。囙此
彼得將得到兩塊，加起來是兩塊
5個
.