THEOREM 1. Let S be an n x n comple

THEOREM 1. Let S be an n x n complex matrix and m be a nonnegative integer. Then the following three statements are equivalent to each other:
(1.1) S E g”” (i.e., S is a Product of 2m positive definite hermitian
matrices) ;
(1.2) S is similar to an element of gzm;
(1.3) S is similar to an element of Y2m--1 ;
and also the following thzree statements are equivalent to each other:
(1.1’) s Egznt+‘;
(1.2’) S is conjunctive with an element of 9@m+1;
(1.3’) S is conjunctive with alz element of 92m.
Remark. Since I E 8, we can apply [2, Corollary 1.21 in this context, but it tells us just the known fact that the subgroup generated by 9’ isnormal in 9(c). This subgroup is S+(c), which is well known to be normal in 9(c). We shall show later (in Theorem 5) that actually P(c) = g5. Next we have the following analog of [2, Theorem 21. THEOREM 2. Let S be an n x n complex matrix. Then the following four statements aye equivalent (to each other):
(2.1) S E g2 (i.e., S is a Product of two positive definite hermitian
matrices) ;
(2.2) S is similar to an element of Y2;
(2.3) S is similar to an element of 9’;
(2.4) S is unitarily similar to a diagonable lower triangular matrix of positive diagonal. (Note: In this paper “diagonable” means “similar over the complex field to a diagonal matrix.“)
Proof. The proof of Theorem 2 is entirely analogous to that of [2, Theorem 21, and so will not be given explicitly here.
Theorem 2, like its real analog [2, Theorem 21, can be easily derived also from Taussky’s result. (See [5, p. 11271 for further references, and see Remark 3 of Section 7 for further nasc for P2.)

結果 (中文) 1:

定理 1。设 S 是 n x n 的复矩阵和 m 是一个非负的整数。然后下面三个语句是相互等价的:(1.1) S E g""(即 S 是 2m 积极正定埃尔米特产品矩阵);(1.2) S 是类似于元素的 gzm;(1.3) S 是类似于元素的 Y2m-1;和下面的 thzree 语句也是相互等价的:(1.1) s Egznt +';(1.2') S 是结膜与元素 9@m+1;(1.3') S 是结膜与 alz 元素的 92 米。评论。自从我 E 8，我们可以应用 [2，在这方面，但它必然 1.21 结果告诉我们，只是已知的事实，该分组由 9' isnormal 在同时产生。这个子群是 S+(c)，这是众所周知的是正常的同时。我们应当出示后 (在定理 5) 那实际上 P(c) = g5。接下来，我们有以下模拟的 [2，定理 21。定理 2。设 S 是 n x n 的复矩阵。然后以下四项声明赞成 (相互等价的):(2.1) S E g2 (即，S 是一个产品的两个积极正定埃尔米特矩阵);(2.2) S 是类似于元素 Y2;(2.3) S 是类似于元素的 9';(2.4) S 是酉类似于 diagonable 的正面对角线的下三角矩阵。(注意: 在本文中"diagonable"意味着"相似复数域上一个对角矩阵")证明。定理 2 的证明是完全类似于 [2，定理 21，所以不会显式地在这里给出。定理 2，其真实的模拟像 [2，21 定理，可以容易地导出也从 Taussky 的结果。(见 [5，p.11271 进一步参考，及为进一步航空为 P2 见第 7 节第 3 句话。)

結果 (中文) 3:

定理1。让我们做一个非负整数的矩阵，并且我是一个非负整数。然后下面三个陈述彼此等价：（1.1）
S E G”（即是2M的正定矩阵

产品）；（1.2）是类似于
GZM的元件；（1.3）是类似于y2m元素——1；
还包括以下thzree陈述彼此等价：
（1。1）的egznt”；
（1.2）的连接与9 @米1元；
（1.3）的连接与阿尔兹
备注9200万元。自从我8，我们可以应用[ 2，推论1.21在这样的背景下，但它告诉我们已知的事实是，在9 9的正常生成的子群（C）。这个亚群是众所周知的，这是众所周知的是在9（三）。我们将显示后（定理5），实际上P（C）= G5。接下来我们有以下2个模拟，定理21。定理2。让我们做一个氮的复杂矩阵。那么以下四个陈述是等价的（彼此）：（2.1）
的G2（即S是一个两个正定矩阵

产品）；（2.2）是类似于
Y2的元件；（2.3）是类似于9个元素；
（2。4）S是酉相似于diagonable下三角矩阵的正对角。（注：本文中“diagonable”的意思是“在复杂的领域，一个对角矩阵”。）
证明。定理2的证明完全类似于[ 2，定理21 ]，所以在这里不给出明确的证明。定理2，类似它的真实模拟[ 2，定理21，可以很容易的得到也从Tausskey结果。（见[ 5，11271页的进一步资料，见P2的7节3句话。进一步NASC）